机械能守恒和动量守恒有什么关系

1. 机械能守恒和动量守恒有什么关系

机械能守恒定律与动量守恒定律的比较及应用
湖南省祁东县育贤中学　张安国
高中物理力学中涉及两个守恒定律，即动量守恒定律和机械能守恒定律，掌握这两个守恒定律，对物理概念和物理规律的理解能更进一步。这两个定律表示的是机械运动不同本质的规律，有相似和相异之处。

一、相似之处

1．两个定律都是用“守恒量”来表示自然界的变化规律，研究对象均为物体系，运用“守恒量”表示物体系运动状态的变化规律是物理研究的重要方法。

2．两个守恒定律均是在一定条件下才能成立，他们都是用运动的初、末两个状态的守恒量相等来表示物体系的规律特征，因此他们的表达式是相似的，并且均有多种形式。

3．运用守恒定律解题要注意其整体性（不是其中一个物体）、相对性（表达式中的速度和其他有关物理量必须对应同一个参考系）、同时性（物体系内各物体的动量和机械能都是对应同一时刻的）、阶段性（满足条件的各个过程的始末量均守恒）。列方程时，只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑中间过程细节。

4．两个定律都可用实验验证，用理论论证。动量守恒定律是将动量定理应用于相互作用的物体，在不受外力的条件下可推导出来；机械能守恒定律是将动能定理应用于物体系（物体和地球组成系统），在只有重力做功的条件下可推导出来。

二、相异之处

1．守恒量不同。动量守恒定律的守恒量是动量，机械能守恒定律的守恒量是机械能。因此他们所表征的守恒规律是有本质区别的。动量守恒时，机械能可能守恒，也可能不守恒，反之亦然。

2．守恒条件不同。动量守恒定律的适用条件是系统不受外力（或系统在某一方向不受外力）；或系统所受的合外力为零；或系统所受的合外力远小于系统的内力。机械能守恒定律适用的条件是只有重力做功；或只有重力做功，其他力不做功；或虽除重力的功外，还有其他力做功，但这些力做功的代数和为零。

3．表达式不同。动量守恒定律的表达式是一个矢量式，不论是，还是，或者均是矢量式。对于在同一直线上运动的物体系，只要规定正方向，动量守恒定律可表示为标量式；对于不在同一直线上运动的物体，可进行正交分解后，列出两个标量式表示动量守恒。在高中阶段，动量守恒定律的应用只限于一维的情况。机械守恒定律的表达式为标量式，一般可表示为，或者，或者（将系统分成a，b两部分来研究）。

例1　下列关于机械能守恒的说法中，正确的是

A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒

B．做匀变速直线运动的物体机械能不可能守恒

C．如果物体不受摩擦力和介质阻力的作用，其机械能一定守恒

D．如果物体只发生动能和势能相互转换，其机械能一定守恒

分析与解　本题是单纯判断四种情形下物体的机械能是否守恒，这要求我们能正确把握机械能守恒的条件。机械能是否守恒，取决于是否有重力以外的力做功，很明显，从A，B，C三个选项中，我们并不能肯定除重力外其他力的做功情况，也就不能肯定在这三种情形下物体的机械能是否守恒，故不能选择选项A，B，C。若物体只发生动能和势能的相互转换，很显然物体的机械能是守恒的，故应选择选项D。

点评　判断物体的机械能是否守恒，关键要抓住守恒的条件，不能仅凭物体做什么运动，或不受什么力来判断。



例2　在质量为M的小车中挂有一个单摆，摆球的质量为m0，小车（和摆球一起）以恒定的速度V沿光滑水平面运动，与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞（如图1所示），碰撞的时间极短，在此碰撞过程中，下列可能发生的情况是

A．小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为v1、v2、v3，满足

B．摆球的速度不变，小车和木块的速度分别变为v1，v2，满足

C．摆球的速度不变，小车和木块的速度均变为v，满足

D．小车和摆球的速度均变为v1，木块的速度变为v2，满足

分析与解　本题的四个选项是单纯涉及动量守恒定律的问题，本题的关键词是小车“沿光滑水平面运动”，木块也置于光滑水平面上，所以系统在水平方向不受外力，碰撞前后系统的动量守恒。另一个关键词是“碰撞时间极短”，因此，小车和木块碰撞时，小车和木块间的作用力只能使小车和木块的动量发生变化，而不能使摆球的动量发生变化。因此，列方程时，只需列出小车与木块动量守恒的表达式，考虑到小车和木块碰撞后可能分离，故有；也可能粘合运动，则有。故应选择选项B，C。



讨论　如将本题改为：在质量为M的小车中挂有一个单摆，摆球的质量为m0，摆球偏离竖直位置θ角，小车和单摆一起以恒定的速度V沿光滑水平地面运动，然后释放摆球，与静止放在车厢内摆线悬挂点正下方的质量为m的木块发生正撞（如图2所示），且碰撞时间极短，那么在摆球和木块碰撞前的瞬间，如设摆球相对于地面的速度为v，小车相对于地面速度为v’则对系统能否列出？为什么？若摆球和木块碰撞后，摆球和木块分离，他们相对地面的速度分别为v1，v2，则对系统能否列出？

显然，摆球在从静止开始摆动至和木块碰撞前的瞬间，系统在水平方向上动量守恒，且木块和车厢相对静止，他们的速度相同，故有.碰撞过程中，因时间极短，车厢速度不可能改变。因此，有，或者。

点评　原题的四个选项均满足动量守恒，但是要对这个物理现象做出正确判断，还需综合考虑题设条件及各种因素，不能用一种情况掩盖另一种情况，条件不同，结论就不同，原题不考虑摆球的动量变化，后面的题不考虑小车的动量变化，均因情境相异所致。



例3　冲击摆的装置是一个用细线悬挂着的砂箱，其质量为从一粒质量为m的弹丸以水平速度v击中砂箱，弹丸陷入箱内，使砂箱摆至某一高度，设最大偏角为θ（如图3所示）。利用这个装置便可测出弹丸的速度。试描述其物理过程并列出弹丸速度的表达式。（设摆长为L）

分析与解　用冲击摆测弹丸的速度涉及动量守恒和机械能守恒。

弹丸射入砂箱的过程中，由于时间极短，砂箱无明显的位移，所以，该过程中系统（弹丸和沙箱）在水平方向不受外力，水平方向动量守恒，由动量守恒定律，得



弹丸射入砂箱后，一起向右摆动，线的拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒。由机械能守恒定律，得



由上述两式，可得



点评　动量守恒和机械能守恒并不是在整个运动过程中都体现。在弹丸射入砂箱的瞬间，系统的动量守恒，但由于弹丸要克服砂的阻力做功，系统的机械能不守恒；在箱与弹丸摆动的过程中，机械能守恒，但外力（摆线的拉力和重力）的冲量不为零，系统的动量不守恒，这是本题求解时得到的启示。另外，分析物理过程中系统的动量是否守恒、机械能是否守恒，关键在于此过程是否满足动量守恒和机械能守恒的条件，有时还需将总过程分为若干分过程。



例4　如图4所示，质量为M，内壁光滑的半圆槽放在光滑的水平面上，其左侧紧靠台阶，槽的半径为R。今从槽左侧A点的正上方D点自由释放一个质量为m的小球，球恰从A点进入槽的内壁轨道。为使小球沿槽的内壁恰好运动到右端B点，试求D点至A点的高度。

分析与解设D点至A点的高度为h，则小球从D点处开始运动至B端的过程可分为三个阶段：

第一阶段小球从D点自由下落至A点，只有重力做功，机械能守恒，得；

第二阶段小球从A点运动到半圆槽的最低点O1。由于受台阶的作用，半圆槽仍保持静止，仅重力做功，机械能守恒，可得；

第三阶段小球从O1点运动至B点，到达B点时小球和槽有共同的速度vB，对槽和小球系统而言，只有重力做功，可得；

在此阶段，系统在水平方向不受外力，水平方向上动量守恒，故有。

联立以上四式解得。

点评　根据动量守恒和机械能守恒的条件分析运动过程是解题的切入点也是落脚点。分析是否满足守恒条件，要定性分析运动过程，若用守恒定律列方程，仅用到运动过程的始、末两个状态。

2005-09-09  原载《中学物理教学参考》2005．7

2. 动量守恒和机械能守恒是一回事吗

二者是两种定律，差异很大，但都遵守守恒意义。
动量守恒定义
定律内容：一个系统不受外力或所受外力之和为零或内力远远大于外力，这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。
说明：
(1)动量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一，它既适用于宏观物体，也适用于微观粒子；既适用于低速运动物体，也适用于高速运动物体，它是一个实验规律，也可用牛顿第二定律和动量定理推导出来。
(2)动量守恒定律和能量守恒定律以及角动量守恒定律一起成为现代物理学中的三大基本守恒定律。最初它们是牛顿定律的推论，但后来发现它们的适用范围远远广于牛顿定律，是比牛顿定律更基础的物理规律，是时空性质的反映。其中，动量守恒定律由空间平移不变性推出，动量守恒定律由时间平移不变性推出，而角动量守恒定律则由空间的旋转对称性推出。
(3)相互间有作用力的物体系称为系统，系统内的物体可以是两个、三个或者更多，解决实际问题时要根据需要和求解问题的方便程度，合理地选择系统。
动量守恒条件
1:系统不受外力或受外力的矢量和为零
2:相互作用的时间极短,相互作用的内力远大于外力,如碰撞或爆炸瞬间,外力可忽略不计,可以看作系统的动量守恒。
3:系统某一方向上不受外力或受外力的矢量和为零;或外力远小于内力,则该方向上动量守恒(分动量守恒)。
4:在某些实际问题中,一个系统所受外力和不为零,内力也不是远大于外力,但外力在某个方向上的投影为零,那么在该方向上可以说满足动量守恒的条件。
机械能守恒定律
在只有重力或弹力做功的物体系统内(或者不受其他外力的作用下），物体系统的动能和势能（包括重力势能和弹性势能）发生相互转化，但机械能的总能量保持不变。这个规律叫做机械能守恒定律
守恒条件
机械能守恒条件是：只有系统内的弹力或重力所做的功，即忽略摩擦力造成的能量损失,所以机械能守恒也是一种理想化的物理模型，而且是系统内机械能守恒。
一般做题的时候好多是机械能不守恒的，但是可以用能量守恒，比如说把丢失的能量给补回来，从功能关系式中的 WF外=△E机 可知：更广义的机械能守恒条件应是系统外的力所做的功为零。当系统不受外力或所受外力做功之和为零,这个系统的总动量保持不变,叫动量守恒定律。当只有动能和势能（包括重力势能和弹性势能）相互转换时，机械能才守恒。

3. “动能守恒”和“机械能守恒”有什么关系？

我记得好像不能说是动能守恒的，因为动能一般是不守恒的，一个物体或是一个系统，只有无外力做功时动能才是守恒的，一般是动量守恒，（动能是标量，动量是矢量）。
机械能中包括动能和势能，而机械能守恒指的就是在一个物体或是一个系统中，其中的动能和势能无论怎样变化，总量是不变的。
总的来说，动能守恒和机械能守恒是没什么关系的，当然，在水平面上空中，忽略阻力和摩擦力，物体做匀速运动“动能守恒”和“机械能守恒”是都守恒的。
还有3楼纠正个小错误，不是“机械能守恒是无外力情况下动能和势能的转化。”而是“机械能守恒是无外力‘做功’情况下动能和势能的转化。”(*^__^*)
嘻嘻……，受力与运动方向垂直，或是处于平衡状态时，有外力也是守恒的。

4. 动能守恒条件，动量守恒，机械能守恒，如何区分

动量守恒是系统没有合外力冲量的情况下，合动量mv不变。
动量守恒是，系统没有力做功的情况下，系统的合动能1/2mv²不变。
机械能守恒是没有外力和非保守内力做功情况下，系统的动能加势能之和不变。

5. 机械能守恒和动量守恒有什么关系

机械能守恒定律与动量守恒定律的比较及应用湖南省祁东县育贤中学　张安国高中物理力学中涉及两个守恒定律,即动量守恒定律和机械能守恒定律,掌握这两个守恒定律,对物理概念和物理规律的理解能更进一步.这两个定律表示的是机械运动不同本质的规律,有相似和相异之处.一、相似之处1．两个定律都是用“守恒量”来表示自然界的变化规律,研究对象均为物体系,运用“守恒量”表示物体系运动状态的变化规律是物理研究的重要方法.2．两个守恒定律均是在一定条件下才能成立,他们都是用运动的初、末两个状态的守恒量相等来表示物体系的规律特征,因此他们的表达式是相似的,并且均有多种形式.3．运用守恒定律解题要注意其整体性（不是其中一个物体）、相对性（表达式中的速度和其他有关物理量必须对应同一个参考系）、同时性（物体系内各物体的动量和机械能都是对应同一时刻的）、阶段性（满足条件的各个过程的始末量均守恒）.列方程时,只需考虑运动的初状态和末状态,不必考虑中间过程细节.4．两个定律都可用实验验证,用理论论证.动量守恒定律是将动量定理应用于相互作用的物体,在不受外力的条件下可推导出来；机械能守恒定律是将动能定理应用于物体系（物体和地球组成系统）,在只有重力做功的条件下可推导出来.二、相异之处1．守恒量不同.动量守恒定律的守恒量是动量,机械能守恒定律的守恒量是机械能.因此他们所表征的守恒规律是有本质区别的.动量守恒时,机械能可能守恒,也可能不守恒,反之亦然.2．守恒条件不同.动量守恒定律的适用条件是系统不受外力（或系统在某一方向不受外力）；或系统所受的合外力为零；或系统所受的合外力远小于系统的内力.机械能守恒定律适用的条件是只有重力做功；或只有重力做功,其他力不做功；或虽除重力的功外,还有其他力做功,但这些力做功的代数和为零.3．表达式不同.动量守恒定律的表达式是一个矢量式,不论是,还是,或者均是矢量式.对于在同一直线上运动的物体系,只要规定正方向,动量守恒定律可表示为标量式；对于不在同一直线上运动的物体,可进行正交分解后,列出两个标量式表示动量守恒.在高中阶段,动量守恒定律的应用只限于一维的情况.机械守恒定律的表达式为标量式,一般可表示为,或者,或者（将系统分成a,b两部分来研究）.例1　下列关于机械能守恒的说法中,正确的是A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B．做匀变速直线运动的物体机械能不可能守恒C．如果物体不受摩擦力和介质阻力的作用,其机械能一定守恒D．如果物体只发生动能和势能相互转换,其机械能一定守恒分析与解　本题是单纯判断四种情形下物体的机械能是否守恒,这要求我们能正确把握机械能守恒的条件.机械能是否守恒,取决于是否有重力以外的力做功,很明显,从A,B,C三个选项中,我们并不能肯定除重力外其他力的做功情况,也就不能肯定在这三种情形下物体的机械能是否守恒,故不能选择选项A,B,C.若物体只发生动能和势能的相互转换,很显然物体的机械能是守恒的,故应选择选项D.点评　判断物体的机械能是否守恒,关键要抓住守恒的条件,不能仅凭物体做什么运动,或不受什么力来判断.例2　在质量为M的小车中挂有一个单摆,摆球的质量为m0,小车（和摆球一起）以恒定的速度V沿光滑水平面运动,与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞（如图1所示）,碰撞的时间极短,在此碰撞过程中,下列可能发生的情况是A．小车、木块、摆球的速度都发生变化,分别变为v1、v2、v3,满足B．摆球的速度不变,小车和木块的速度分别变为v1,v2,满足C．摆球的速度不变,小车和木块的速度均变为v,满足D．小车和摆球的速度均变为v1,木块的速度变为v2,满足分析与解　本题的四个选项是单纯涉及动量守恒定律的问题,本题的关键词是小车“沿光滑水平面运动”,木块也置于光滑水平面上,所以系统在水平方向不受外力,碰撞前后系统的动量守恒.另一个关键词是“碰撞时间极短”,因此,小车和木块碰撞时,小车和木块间的作用力只能使小车和木块的动量发生变化,而不能使摆球的动量发生变化.因此,列方程时,只需列出小车与木块动量守恒的表达式,考虑到小车和木块碰撞后可能分离,故有；也可能粘合运动,则有.故应选择选项B,C.讨论　如将本题改为：在质量为M的小车中挂有一个单摆,摆球的质量为m0,摆球偏离竖直位置θ角,小车和单摆一起以恒定的速度V沿光滑水平地面运动,然后释放摆球,与静止放在车厢内摆线悬挂点正下方的质量为m的木块发生正撞（如图2所示）,且碰撞时间极短,那么在摆球和木块碰撞前的瞬间,如设摆球相对于地面的速度为v,小车相对于地面速度为v’则对系统能否列出?为什么?若摆球和木块碰撞后,摆球和木块分离,他们相对地面的速度分别为v1,v2,则对系统能否列出?显然,摆球在从静止开始摆动至和木块碰撞前的瞬间,系统在水平方向上动量守恒,且木块和车厢相对静止,他们的速度相同,故有.碰撞过程中,因时间极短,车厢速度不可能改变.因此,有,或者.点评　原题的四个选项均满足动量守恒,但是要对这个物理现象做出正确判断,还需综合考虑题设条件及各种因素,不能用一种情况掩盖另一种情况,条件不同,结论就不同,原题不考虑摆球的动量变化,后面的题不考虑小车的动量变化,均因情境相异所致.例3　冲击摆的装置是一个用细线悬挂着的砂箱,其质量为从一粒质量为m的弹丸以水平速度v击中砂箱,弹丸陷入箱内,使砂箱摆至某一高度,设最大偏角为θ（如图3所示）.利用这个装置便可测出弹丸的速度.试描述其物理过程并列出弹丸速度的表达式.（设摆长为L）分析与解　用冲击摆测弹丸的速度涉及动量守恒和机械能守恒.弹丸射入砂箱的过程中,由于时间极短,砂箱无明显的位移,所以,该过程中系统（弹丸和沙箱）在水平方向不受外力,水平方向动量守恒,由动量守恒定律,得弹丸射入砂箱后,一起向右摆动,线的拉力不做功,只有重力做功,机械能守恒.由机械能守恒定律,得由上述两式,可得点评　动量守恒和机械能守恒并不是在整个运动过程中都体现.在弹丸射入砂箱的瞬间,系统的动量守恒,但由于弹丸要克服砂的阻力做功,系统的机械能不守恒；在箱与弹丸摆动的过程中,机械能守恒,但外力（摆线的拉力和重力）的冲量不为零,系统的动量不守恒,这是本题求解时得到的启示.另外,分析物理过程中系统的动量是否守恒、机械能是否守恒,关键在于此过程是否满足动量守恒和机械能守恒的条件,有时还需将总过程分为若干分过程.例4　如图4所示,质量为M,内壁光滑的半圆槽放在光滑的水平面上,其左侧紧靠台阶,槽的半径为R.今从槽左侧A点的正上方D点自由释放一个质量为m的小球,球恰从A点进入槽的内壁轨道.为使小球沿槽的内壁恰好运动到右端B点,试求D点至A点的高度.分析与解设D点至A点的高度为h,则小球从D点处开始运动至B端的过程可分为三个阶段：第一阶段小球从D点自由下落至A点,只有重力做功,机械能守恒,得；第二阶段小球从A点运动到半圆槽的最低点O1.由于受台阶的作用,半圆槽仍保持静止,仅重力做功,机械能守恒,可得；第三阶段小球从O1点运动至B点,到达B点时小球和槽有共同的速度vB,对槽和小球系统而言,只有重力做功,可得；在此阶段,系统在水平方向不受外力,水平方向上动量守恒,故有.联立以上四式解得.点评　根据动量守恒和机械能守恒的条件分析运动过程是解题的切入点也是落脚点.分析是否满足守恒条件,要定性分析运动过程,若用守恒定律列方程,仅用到运动过程的始、末两个状态. 

6. 动量守恒 和 机械能守恒 条件有什么不一样？

动量守恒适用于任何情况。
机械能守恒
：
（1）对某一物体若只受重力作用，则物体与地球组成的系统机械能守恒。
（2）对某一物体除受重力外还受其他力作用，但只有重力做功，其他力不做功，则物体与地球组成的系统机械能守恒。
（3）若某一物体受几个力作用时，只有弹簧弹力做功，其他力不做功，此时物体与弹簧组成的系统机械能守恒。
（4）若某一物体受几个力作用时，只有重力和弹簧弹力做功，其他力不做功，此时物体、弹簧和地球组成的系统机械能守恒。

7. 动量守恒和机械能守恒

动量是否守恒的关键在于系统受到外力作用。如果系统不受外力或者所受合外力为0，则系统动量守恒，反之则不守恒。（但是如果系统在某个方向上受合外力为0，则可以说系统在这个方向上动量守恒，注意，是“在这个方向上”守恒）
而机械能是否守恒在于外力对物体做功的情况，只要除了重力和弹力以外没有其他的力对物体做功，机械能就守恒。

8. 动量守恒和机械能守恒是一回事吗

机械能守恒判断：（1）对某一物体若只有重力做功，则物体与地球组成的系统机械能守恒。
验证机械能守恒（2）对某一物体除受重力外还受其他力作用，但只有重力做功，其他力不做功，则物体与地球组成的系统机械能守恒。
（3）若某一物体受几个力作用时，只有弹簧弹力做功，其他力不做功，此时物体与弹簧组成的系统机械能守恒。
（4）若某一物体受几个力作用时，只有重力和弹簧弹力做功，其他力不做功，此时物体、弹簧和地球组成的系统机械能守恒。
动量守恒判断：1:系统不受外力或受外力的矢量和为零
2:相互作用的时间极短,相互作用的内力远大于外力,如碰撞或爆炸瞬间,外力可忽略不计,可以看作系统的动量守恒.
3:系统某一方向上不受外力或受外力的矢量和为零;或外力远大于内力,则该方向上动量守恒(分动量守恒).
4:在某些实际问题中,一个系统所受外力和不为零,内力也不是远大于外力,但外力在某个方向上的投影为零,那么在该方向上可以说满足动量受恒的条件.